Course description

In a Class 12 Mathematics course, the topic of Differential Equations typically covers the following concepts:

Introduction to Differential Equations:

Definition: A differential equation is an equation that involves one or more derivatives of an unknown function.

Ordinary Differential Equations (ODEs) involve ordinary derivatives with respect to a single independent variable.

Partial Differential Equations (PDEs) involve partial derivatives with respect to multiple independent variables.

Order and Degree of Differential Equations:

The order of a differential equation is the highest order derivative present in the equation.

The degree of a differential equation is the power to which the highest order derivative is raised, after the equation has been made free from radicals and fractions.

Types of Differential Equations:

Linear Differential Equations: The dependent variable and its derivatives appear in the equation linearly.

Non-linear Differential Equations: The dependent variable and its derivatives appear in a non-linear form.

Homogeneous Differential Equations: If all terms of a differential equation contain the dependent variable and its derivatives, the equation is homogeneous.

Non-homogeneous Differential Equations: If a differential equation contains terms independent of the dependent variable or its derivatives, it is non-homogeneous.

Solving Differential Equations:

Analytical Methods: Techniques such as separation of variables, integrating factors, substitution, and method of undetermined coefficients are used to solve differential equations analytically.

Numerical Methods: Techniques such as Euler's method, Runge-Kutta methods, and finite difference methods are used to approximate solutions to differential equations numerically.

Applications of Differential Equations:

Differential equations have widespread applications in various fields, including physics, engineering, biology, chemistry, economics, and computer science.

They are used to model and analyze dynamic systems, population growth, radioactive decay, electrical circuits, heat transfer, fluid dynamics, and many other phenomena.

Initial Value Problems (IVPs) and Boundary Value Problems (BVPs):

In an initial value problem, the solution of a differential equation is sought subject to given initial conditions.

In a boundary value problem, the solution of a differential equation is sought subject to given boundary conditions.

Existence and Uniqueness of Solutions:

Conditions under which a solution to a given differential equation exists and is unique are explored, often involving the Picard-Lindelöf theorem or other existence and uniqueness theorems.

ক্লাস 12 গণিত কোর্সে, ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনের বিষয় সাধারণত নিম্নলিখিত ধারণাগুলিকে কভার করে:

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ভূমিকা:

সংজ্ঞা: একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল একটি সমীকরণ যাতে একটি অজানা ফাংশনের এক বা একাধিক ডেরিভেটিভ জড়িত থাকে।
অর্ডিনারি ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন (ODEs) একটি একক স্বাধীন পরিবর্তনশীলের সাথে সাধারন ডেরিভেটিভকে জড়িত করে।
আংশিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন (PDEs) একাধিক স্বাধীন ভেরিয়েবলের সাপেক্ষে আংশিক ডেরিভেটিভকে জড়িত করে।
ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্রম এবং ডিগ্রি:

একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্রম হল সমীকরণে উপস্থিত সর্বোচ্চ ক্রম ডেরিভেটিভ।
একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ডিগ্রী হল সেই শক্তি যার জন্য সমীকরণটি র্যাডিকেল এবং ভগ্নাংশ থেকে মুক্ত হওয়ার পরে সর্বোচ্চ ক্রম ডেরিভেটিভ উত্থাপিত হয়।
ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের প্রকার:

লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ: নির্ভরশীল পরিবর্তনশীল এবং এর ডেরিভেটিভগুলি রৈখিকভাবে সমীকরণে উপস্থিত হয়।
নন-লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ: নির্ভরশীল পরিবর্তনশীল এবং এর ডেরিভেটিভগুলি একটি অ-রৈখিক আকারে উপস্থিত হয়।
সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ: যদি একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমস্ত পদে নির্ভরশীল পরিবর্তনশীল এবং এর ডেরিভেটিভ থাকে, তাহলে সমীকরণটি সমজাতীয়।
অ-সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ: যদি একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে নির্ভরশীল পরিবর্তনশীল বা এর ডেরিভেটিভ থেকে স্বাধীন পদ থাকে তবে এটি অ-সমজাতীয়।
ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করা:

বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতি: কৌশলগুলি যেমন ভেরিয়েবলের বিভাজন, একীভূতকরণ কারণ, প্রতিস্থাপন এবং অনির্ধারিত সহগগুলির পদ্ধতি বিশ্লেষণাত্মকভাবে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করতে ব্যবহৃত হয়।
সংখ্যাসূচক পদ্ধতি: অয়লারের পদ্ধতি, রুঞ্জ-কুট্টা পদ্ধতি এবং সসীম পার্থক্য পদ্ধতির মতো কৌশলগুলি সংখ্যাগতভাবে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের আনুমানিক সমাধান করতে ব্যবহৃত হয়।
ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের প্রয়োগ:

পদার্থবিদ্যা, প্রকৌশল, জীববিদ্যা, রসায়ন, অর্থনীতি, এবং কম্পিউটার বিজ্ঞান সহ বিভিন্ন ক্ষেত্রে বিভেদ সমীকরণের ব্যাপক প্রয়োগ রয়েছে।
এগুলি গতিশীল সিস্টেম, জনসংখ্যা বৃদ্ধি, তেজস্ক্রিয় ক্ষয়, বৈদ্যুতিক সার্কিট, তাপ স্থানান্তর, তরল গতিবিদ্যা এবং অন্যান্য অনেক ঘটনাকে মডেল এবং বিশ্লেষণ করতে ব্যবহৃত হয়।
প্রাথমিক মূল্য সমস্যা (IVPs) এবং সীমানা মূল্য সমস্যা (BVPs):

একটি প্রাথমিক মান সমস্যায়, প্রদত্ত প্রাথমিক শর্ত সাপেক্ষে একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান চাওয়া হয়।
একটি সীমানা মান সমস্যায়, প্রদত্ত সীমানা শর্ত সাপেক্ষে একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান চাওয়া হয়।
সমাধানের অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতা:

যে শর্তগুলির অধীনে একটি প্রদত্ত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সমাধান বিদ্যমান এবং অনন্য তা অন্বেষণ করা হয়, প্রায়শই পিকার্ড-লিন্ডেলফ উপপাদ্য বা অন্যান্য অস্তিত্ব এবং অনন্যতা উপপাদ্য জড়িত থাকে।

What will i learn?

• Class 12 maths chapter 9 differential equations utilize the concepts of calculus to introduce a new topic called differential equations. Previously children were taught how to differentiate a given function f with respect to an independent variable, i.e., how to find f ′(x) for a given function f at each x in its domain of definition. Further how to find a function f whose derivative is the function g was also taught to students. Using these concepts a formal definition for differential equations can be given as an equation involving the derivative of the dependent variable with respect to the independent variable. We can also categorize these equations. A differential equation involving derivatives of the dependent variable with respect to only one independent variable is called an ordinary differential equation while partial differential equations are differential equations that involve derivatives with respect to more than one independent variable. Class 12 maths chapter 9 explains these topics in depth with exemplar problems. Class 12 maths chapter 9 shows another aspect of calculus. Once children are well-versed with the different methods of differentiating and integrating a function they can smoothly transition to solving the problems in this lesson.
• ক্লাস 12 গণিত অধ্যায় 9 ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি ক্যালকুলাসের ধারণাগুলিকে ব্যবহার করে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ নামে একটি নতুন বিষয় প্রবর্তন করে। পূর্বে শিশুদের শেখানো হয়েছিল কিভাবে একটি প্রদত্ত ফাংশন f কে একটি স্বাধীন পরিবর্তনশীলের সাথে আলাদা করতে হয়, যেমন, প্রতিটি x এর সংজ্ঞার ডোমেনে একটি প্রদত্ত ফাংশনের জন্য f ′(x) কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায়। আরও কীভাবে একটি ফাংশন f খুঁজে বের করতে হয় যার ডেরিভেটিভ ফাংশন g হল তাও শিক্ষার্থীদের শেখানো হয়েছিল। এই ধারণাগুলি ব্যবহার করে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য একটি আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা দেওয়া যেতে পারে একটি সমীকরণ হিসাবে যা স্বাধীন চলকের সাপেক্ষে নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের ডেরিভেটিভকে জড়িত করে। আমরা এই সমীকরণগুলিকেও শ্রেণীবদ্ধ করতে পারি। একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যেখানে শুধুমাত্র একটি স্বাধীন ভেরিয়েবলের সাপেক্ষে নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের ডেরিভেটিভগুলিকে একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বলা হয় যখন আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি হল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যা একাধিক স্বাধীন চলকের ক্ষেত্রে ডেরিভেটিভগুলিকে জড়িত করে। ক্লাস 12 গণিত অধ্যায় 9 নমুনা সমস্যা সহ এই বিষয়গুলি গভীরভাবে ব্যাখ্যা করে। 12 তম শ্রেণীর গণিত অধ্যায় 9 ক্যালকুলাসের আরেকটি দিক দেখায়। একবার শিশুরা একটি ফাংশনকে আলাদা করার এবং সংহত করার বিভিন্ন পদ্ধতির সাথে ভালভাবে পারদর্শী হয়ে গেলে তারা এই পাঠে সমস্যাগুলি সমাধানের জন্য মসৃণভাবে রূপান্তর করতে পারে।

Frequently asked question