Probability - Class 12

Compare

Probability defines the likelihood of occurrence of an event. There are many real-life situations in which we may have to predict the outcome of an event. We may be sure or not sure of the results of an event. In such cases, we say that there is a probability of this event to occur or not occur. Probability generally has great applications in games, in business to make predictions, and also it has extensive applications in this new area of artificial intelligence. The probability of an event can be calculated by the probability formula by simply dividing the favourable number of outcomes by the total number of possible outcomes. The value of the probability of an event happening can lie between 0 and 1 because the favourable number of outcomes can never be more than the total number of outcomes. Also, the favorable number of outcomes cannot be negative. সম্ভাব্যতা একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা সংজ্ঞায়িত করে। বাস্তব জীবনের অনেক পরিস্থিতি রয়েছে যেখানে আমাদের একটি ঘটনার ফলাফলের পূর্বাভাস দিতে হতে পারে। আমরা একটি ঘটনার ফলাফল সম্পর্কে নিশ্চিত বা নিশ্চিত নাও হতে পারি। এই ধরনের ক্ষেত্রে, আমরা বলি যে এই ঘটনা ঘটতে বা না হওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে। সম্ভাবনার সাধারণত গেমগুলিতে, ভবিষ্যদ্বাণী করার জন্য ব্যবসায় দুর্দান্ত অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে এবং কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তার এই নতুন ক্ষেত্রে এটির ব্যাপক অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে। একটি ঘটনার সম্ভাব্যতা সম্ভাব্য ফলাফলের মোট সংখ্যা দ্বারা ফলাফলের অনুকূল সংখ্যাকে ভাগ করে সম্ভাব্যতা সূত্র দ্বারা গণনা করা যেতে পারে। একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনার মান 0 এবং 1 এর মধ্যে থাকতে পারে কারণ ফলাফলের অনুকূল সংখ্যা কখনই ফলাফলের মোট সংখ্যার চেয়ে বেশি হতে পারে না। এছাড়াও, ফলাফলের অনুকূল সংখ্যা নেতিবাচক হতে পারে না।

Linear Programming - Class 12

Compare

Linear programming is a technique in algebra that uses linear equations to determine how to arrive at the optimal situation (maximum or minimum) as an answer to a mathematical problem, assuming the finiteness of resources and the quantifiable nature of the end optimization goal. রৈখিক প্রোগ্রামিং হল বীজগণিতের একটি কৌশল যা রৈখিক সমীকরণ ব্যবহার করে কিভাবে একটি গাণিতিক সমস্যার উত্তর হিসাবে সর্বোত্তম পরিস্থিতিতে (সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন) পৌঁছাতে হয়, সম্পদের সসীমতা এবং শেষ অপ্টিমাইজেশন লক্ষ্যের পরিমাণগত প্রকৃতি অনুমান করে।

Vector Algebra - Class 12

Compare

Vectors are geometrical entities that have magnitude and direction. A vector can be represented by a line with an arrow pointing towards its direction and its length represents the magnitude of the vector. Therefore, vectors are represented by arrows, they have initial points and terminal points. The concept of vectors was evolved over a period of 200 years. Vectors are used to represent physical quantities such as displacement, velocity, acceleration, etc. Further, the use of vectors started in the late 19th century with the advent of the field of electromagnetic induction. ভেক্টর হল জ্যামিতিক সত্তা যার মাত্রা এবং দিক আছে। একটি ভেক্টরকে একটি রেখা দ্বারা উপস্থাপিত করা যেতে পারে যার দিকে একটি তীর নির্দেশ করে এবং এর দৈর্ঘ্য ভেক্টরের মাত্রাকে উপস্থাপন করে। অতএব, ভেক্টরগুলি তীর দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, তাদের প্রাথমিক বিন্দু এবং টার্মিনাল বিন্দু রয়েছে। ভেক্টরের ধারণাটি 200 বছর ধরে বিকশিত হয়েছিল। ভেক্টরগুলি শারীরিক পরিমাণ যেমন স্থানচ্যুতি, বেগ, ত্বরণ ইত্যাদির প্রতিনিধিত্ব করতে ব্যবহৃত হয়। আরও, 19 শতকের শেষের দিকে ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিক ইন্ডাকশন ক্ষেত্রের আবির্ভাবের সাথে ভেক্টরের ব্যবহার শুরু হয়।

Differential Equations - Class 12

Compare

A differential equation is an equation that contains at least one derivative of an unknown function, either an ordinary derivative or a partial derivative. Suppose the rate of change of a function y with respect to x is inversely proportional to y, we express it as dy/dx = k/y. In calculus, a differential equation is an equation that involves the derivative (derivatives) of the dependent variable with respect to the independent variable (variables). The derivative represents nothing but a rate of change, and the differential equation helps us present a relationship between the changing quantity with respect to the change in another quantity. y=f(x) be a function where y is a dependent variable, f is an unknown function, x is an independent variable. Here are a few differential equations. (dy/dx) = sin x (d2y/dx2) + k2y = 0 (d2y/dt2) + (d2x/dt2) = x (d3y/dx3) + x(dy/dx) - 4xy = 0 (rdr/dθ) + cosθ = 5 একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল একটি সমীকরণ যাতে একটি অজানা ফাংশনের অন্তত একটি ডেরিভেটিভ থাকে, হয় একটি সাধারণ ডেরিভেটিভ বা একটি আংশিক ডেরিভেটিভ। ধরুন x এর সাপেক্ষে একটি ফাংশন y এর পরিবর্তনের হার y এর বিপরীতভাবে সমানুপাতিক, আমরা এটিকে dy/dx = k/y হিসাবে প্রকাশ করি। ক্যালকুলাসে, একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল একটি সমীকরণ যা স্বাধীন চলকের (ভেরিয়েবল) সাপেক্ষে নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের ডেরিভেটিভ (ডেরিভেটিভ) জড়িত। ডেরিভেটিভ পরিবর্তনের হার ছাড়া আর কিছুই উপস্থাপন করে না, এবং ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ আমাদের অন্য পরিমাণের পরিবর্তনের সাথে পরিবর্তিত পরিমাণের মধ্যে একটি সম্পর্ক উপস্থাপন করতে সাহায্য করে। y=f(x) একটি ফাংশন যেখানে y একটি নির্ভরশীল ভেরিয়েবল, f একটি অজানা ফাংশন, x একটি স্বাধীন চলক। এখানে কয়েকটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ রয়েছে। (dy/dx) = sin x (d2y/dx2) + k2y = 0 (d2y/dt2) + (d2x/dt2) = x (d3y/dx3) + x(dy/dx) - 4xy = 0 (rdr/dθ) + cosθ = 5

Relations and Functions - Class 12

Compare

Relations and Functions in real life give us the link between any two entities. In our daily life, we come across many patterns and links that characterize relations such as a relation between a father and a son, brother and sister, etc. In mathematics also, we come across many relations between numbers such as a number x is less than y, line l is parallel to line m, etc. Relation and function map elements of one set (domain) to the elements of another set (codomain). Functions are nothing but special types of relations that define the precise correspondence between one quantity with the other. বাস্তব জীবনে সম্পর্ক এবং ফাংশন আমাদের যেকোনো দুটি সত্তার মধ্যে যোগসূত্র দেয়। আমাদের দৈনন্দিন জীবনে, আমরা এমন অনেক নিদর্শন এবং লিঙ্ক দেখতে পাই যা সম্পর্ককে চিহ্নিত করে যেমন পিতা ও পুত্র, ভাই ও বোনের সম্পর্ক ইত্যাদি। গণিতেও, আমরা সংখ্যার মধ্যে অনেক সম্পর্ক দেখতে পাই যেমন x সংখ্যা কম। y এর চেয়ে, লাইন l লাইন m, ইত্যাদির সমান্তরাল। একটি সেটের (ডোমেন) অন্য সেটের (কোডোমেন) উপাদানগুলির সাথে সম্পর্ক এবং ফাংশন ম্যাপ উপাদান। ফাংশনগুলি বিশেষ ধরণের সম্পর্ক ছাড়া আর কিছুই নয় যা একটি রাশির সাথে অন্য পরিমাণের মধ্যে সুনির্দিষ্ট সঙ্গতি নির্ধারণ করে।

INTEGRATION - CLASS 12

Compare

Integration is called the inverse process of differentiation. Instead of differentiating a function, we are given the function's derivative and asked to find its primitive, i.e., the original function. Such a process is called integration or anti-differentiation. ইন্টিগ্রেশনকে বলা হয় পার্থক্যের বিপরীত প্রক্রিয়া। একটি ফাংশনকে আলাদা করার পরিবর্তে, আমাদেরকে ফাংশনের ডেরিভেটিভ দেওয়া হয় এবং এর আদিম, অর্থাত্ মূল ফাংশনটি খুঁজে পেতে বলা হয়। এই ধরনের প্রক্রিয়াকে ইন্টিগ্রেশন বা অ্যান্টি-ডিফারেনশিয়ান বলা হয়।

Matrices

Compare

একটি আয়তক্ষেত্রাকার অ্যারে তৈরি করার জন্য সারি এবং কলামে সাজানো সংখ্যার একটি সেট। a set of numbers arranged in rows and columns so as to form a rectangular array.