Course description
In Class 11 Mathematics, the Principle of Mathematical Induction is a significant topic often covered in the chapter on Mathematical Induction. Here's an overview of what's typically included in this section:
Introduction to Mathematical Induction:
Mathematical induction is a method of mathematical proof used to prove statements that involve natural numbers. It is based on the principle of induction, which states that if a statement holds for a particular value (usually the base case) and if it can be shown that assuming the statement holds for a certain value implies that it holds for the next value (the inductive step), then the statement holds for all natural numbers greater than or equal to the base case.
Steps of Mathematical Induction:
Base Case: The first step involves proving that the statement holds true for a specific starting value, often
n = 1 or
n = 0. This is typically the simplest case to verify.
Inductive Hypothesis: Assuming that the statement holds true for some arbitrary natural number
k, where
k is a positive integer.
Inductive Step: Using the assumption made in the inductive hypothesis to prove that the statement also holds true for the next natural number,
k + 1.
Applications of Mathematical Induction:
Mathematical induction is widely used to prove various mathematical statements and properties involving natural numbers, such as divisibility properties, inequalities, and properties of sequences and series.
Induction and Recursion:
Mathematical induction is closely related to the concept of recursion, where a problem or function is defined in terms of itself. Induction can be used to prove properties of recursively defined objects.
ক্লাস 11 গণিতে, গাণিতিক আবেশের নীতি একটি উল্লেখযোগ্য বিষয় যা প্রায়ই গাণিতিক আবেশের অধ্যায়ে কভার করা হয়। এই বিভাগে সাধারণত কী অন্তর্ভুক্ত থাকে তার একটি ওভারভিউ এখানে রয়েছে:
গাণিতিক আবেশের ভূমিকা:
গাণিতিক ইন্ডাকশন হল গাণিতিক প্রমাণের একটি পদ্ধতি যা প্রাকৃতিক সংখ্যা জড়িত বিবৃতি প্রমাণ করতে ব্যবহৃত হয়। এটি আনয়নের নীতির উপর ভিত্তি করে, যা বলে যে যদি একটি বিবৃতি একটি নির্দিষ্ট মান (সাধারণত বেস কেস) ধরে রাখে এবং যদি এটি দেখানো যায় যে বিবৃতিটি একটি নির্দিষ্ট মান ধরে রাখে তা বোঝায় যে এটি পরবর্তী মানের জন্য ধারণ করে ( প্রবর্তক ধাপ), তারপর বিবৃতিটি বেস কেসের চেয়ে বড় বা সমান সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য ধারণ করে।
গাণিতিক আবেশের ধাপ:
বেস কেস: প্রথম ধাপে প্রমাণ করা জড়িত যে বিবৃতিটি একটি নির্দিষ্ট প্রারম্ভিক মানের জন্য সত্য ধারণ করে, প্রায়শই
n = 1 বা
n = 0. এটি সাধারণত যাচাই করার জন্য সবচেয়ে সহজ কেস।
ইন্ডাকটিভ হাইপোথিসিস: ধরে নেওয়া যে বিবৃতিটি কিছু নির্বিচারে প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য সত্য
k, কোথায়
k একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।
ইন্ডাকটিভ স্টেপ: ইন্ডাকটিভ হাইপোথিসিসে তৈরি অনুমান ব্যবহার করে প্রমাণ করা যে বিবৃতিটি পরবর্তী প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্যও সত্য,
k+1.
গাণিতিক আবেশের প্রয়োগ:
গাণিতিক আবেশ ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় বিভিন্ন গাণিতিক বিবৃতি এবং প্রাকৃতিক সংখ্যা জড়িত বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করার জন্য, যেমন বিভাজ্যতা বৈশিষ্ট্য, অসমতা এবং ক্রম এবং সিরিজের বৈশিষ্ট্য।
আবেশ এবং পুনরাবৃত্তি:
গাণিতিক আনয়ন পুনরাবৃত্তির ধারণার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, যেখানে একটি সমস্যা বা ফাংশন নিজের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়। ইন্ডাকশন পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে সংজ্ঞায়িত বস্তুর বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।
